hur man använder en linje integrerad för att hitta massa tråd

Ett vanligt problem att testa kalkyl elever om deras förståelse av linjen integrerad är att fastställa den sammanlagda massan av en tråd som varierar med densitet. Självklart, om densiteten är konstant genom hela längden på kabeln, är problemet trivialt --- bara en fråga om att multiplicera det totala längden med konstant täthet. En linje integrerad i förhållande till en tråd av varierande densitet, behandlar fulla längd av kabeln i små bitar, summerade massan av alla dessa små bitar
1.
Skapa en linje integrerad, med hjälp av en "mycket liten" eller differentiell längd "s eller ds gånger funktionen, vilket ger densitet av kabeln i olika positioner f (x, y).

Anta till exempel att en täthetsfunktion f (x, y)=4xy. Den integrand som kommer att integreras kommer då att 4xy ds .
2.
Skriv ds i form av en parameter t som relaterar x och y. Anta att du får att vektorn r (t)=x (t) i + y (t) j, där R, i och j är vektorer, spår ur kurvan av kabeln. (I och j är den enhet vektorer i x-och y-riktningarna. ) Observera att en differentierad längd i XY-planet är u221A (dx ^ 2 + dy ^ 2). Detta kan skrivas om för att ta skillnaderna fram under det radikala tecknet på följande sätt: dt u221A [(dx /dt) ^ 2 + (dy /dt) ^ 2]
3
. .
Skriv integrand i termer av parametern t.

Till exempel, anta tråden beskrivs av r (t)=x (t) i + y (t) j, där x ( t)=t och y (t)=t ^ 2-1, för t=1 till 3. Sedan fortsätta med våra tidigare exempel, f (x, y)=8 uppgifter (y +1) /x=8T blir ds dt u221A [(dx /dt) ^ 2 + (dy /dt) ^ 2]=dt # x221A, [(1) ^ 2 + (2t) ^ 2]=dt u221A [4t ^ 2-1]. Så full integrand är u221A [4t ^ 2-1 ]---[ 8t] dt.
4.
Integrera över längden på kabeln med avseende på parametern t.

exempel är den linje i vårt exempel från t=1 och 3. Så massa tråden u222B u221A [4t ^ 2-1 ]---[ 8T] dt, som enkelt kan lösas med kunskap om kedjeregeln för att få skillnad på (2 /3) [4t ^ 2-1] ^ 1. 5 utvärderas vid 3 och 1, eller (2 /3) [35 ^ ^ 1,5-3 1. 5]=134,58. Detta är massan av kabeln i vårt exempel.