Inom matematiken är integration beräkning av ett område som definieras av en funktion. För att hitta integral av en funktion är att hitta området mellan funktion och en bas, till exempel x-axeln. Integration är av större betydelse, dock i att summera produkten av förändrade variabler och hantering förändringstakten i allmänhet
Du behöver:.
Blotta ögat eller teleskop
. kompass.
arean under en kurva
De gamla grekerna hade många metoder för att hitta den area eller volym av en siffra. Integration görs för ett mer universellt verktyg. Integration kan ses som en summering av mycket smala rektanglar under en funktion, f (x). Om "x är bredd på varje rektangel, då det gäller en rektangel vid x är f (x) gånger" x eller höjd gånger bredd. Så området från, säg 0 upp till 1 är f (0) "x + f (x)" x + f (2 "x)" x + . . . + f (1) "X.
De mindre vi satt "x, desto mer exakt uppskattning av området. Notationen för denna integrering u222B f (x) dx. Den" blir d när bredden på rektanglarna blir infinitesimalen.
Samband med primitiv
integralen av en funktion är relaterad till dess primitiv. (En primitiv, F (x), en funktion, f (x), har egenskapen att f (x) är lutningen av f (x) vid x. ) Detta förhållande bevisades geometriskt av Isaac Barrow, en av Isaac Newtons professorer vid Cambridge. Sambandet är att integralen av (ytan under) f (x) mellan punkterna A och B är lika med F (b)-F (a). Detta förhållande är så viktig att den har det särskilda namnet fundamentalsats Calculus.
Veta exempelvis att lutningen (dvs härledda eller förändringstakten) av x-kvadrat på x är 2x, kan vi hitta arean under funktionen 2x. Specifikt arean under kurvan 2x från x=0 till x=1 är x-kvadrat på 1 minus x-kvadrat vid 0, dvs 1 ^ 2 -. 0 ^ 2=1
Använder
Den smala -rektangel sätt att se integraler kan vara till hjälp att besvara en fråga som hur man bestämma den totala arbete som en kraft över en varierande bana. Integrationen skulle vara över kraft gånger "(avstånd), där kraften är den rektangulära höjd och" (distans) är bredden. Annan rektangel problem är att bestämma kraft en damm, med trycket ändras med djupet. Integrationen kommer att vara över trycket gånger "djup tider" bredden.
Ett annat viktigt användning av integration är i sannolikhet. Om området under en funktion är 1, och området mellan x=a och x=b representerar sannolikheten för vissa variabel som mellan A och B, sedan integralen av funktionen från A till B ger värdet av denna sannolikhet.
rektanglar åt sidan, visar integration verkligen sina muskler när man hanterar prisförändringarna. Till exempel, på ytan av jorden, den gravitationella accelerationstakten, g, är en konstant 9. 80 meter per sekund-kvadrat. Acceleration är graden av förändring av hastighet, så hastigheten i antiderative av accelerationen. Därför kan hastigheten hos ett föremål med några andra krafter på det bortsett från allvar hittas efter tiden t genom integrering. En andra integration-denna gång av v (t) i takt med ändrade inställning-kan man beräkna positionen efter tiden t.
en uppsjö av metoder
Vad överväldigar många för första gången studenter av tandsten är hur många metoder det finns att integrera: substitution, trigonometriska substitution, integration av delar, och delvis fraktioner. Den bästa strategin för att förenkla det är att erkänna att listan är kort, och att se över vilka former av ekvationer avkastning till vad metoden. Grundläggande för att snabbt identifiera vilken metod att använda är att snabbt avgöra om trig substitution är användbar eller inte. För detta ändamål, hjälper det att minnas de två berörda trig identitet: cosinus-squared + sine-squared=1 och 1 plus tangent-squared är sekanten-kvadrat. Det är lätt att komma ihåg det senare genom att notera det är bara de tidigare delat med cosinus-kvadrat. (För den delen, cos-kvadrat + synd-kvadrat=1 är lätt att minnas eftersom det är bara Pythagoras sats för en enhetscirkeln. )
