Vinkeldistansen rest runt en cirkel är antalet radianer runt cirkeln objektet går. Det finns 2u03C0 radianer i ett varv runt en cirkel, så tre varv är en Vinkeldistansen av 6u03C0 radianer. Godkänns förslaget rätlinjig, det är svårt att avgöra vinkelavståndet passeras. Godkänns förslaget icke-lineär, är vinkelavståndet lättare att bestämma
Linjär-
1.
Rita ett diagram där den väg ett objekt från (x, 0) till (x, y).
2.
Beräkna linjära avståndet passering av stigen som enbart X.
3.
Beräkna vinkelavståndet som skillnaden i inledande och avslutande vinkel. Det ursprungliga vinkeln är noll. Den slutliga vinkeln hittades från tan u03B8=y /x. Därför vinkelavståndet lika u03B8=arctan (y /x).
Roterande rörelse
1.
Rita ett diagram där vägen är (r , u03B8)=(x, x). Så genom att u03B8=u03C0 är sökvägen u03C0 bort från ursprunget. Klart vinkelavståndet är u03C0 radianer, eftersom hälften revolution gjordes.
2.
Bestäm det linjära avståndet mellan de två punkterna (0,0) och ( # x3C0,, u03C0). Det är uppenbart att avståndet u03C0, eftersom det är detsamma som att finna avståndet i XY-planet mellan (0,0) och (-u03C0, 0).
3.
Bestäm båglängden ramla ut av sökvägen enligt följande. Först notera att den sträcka sveper ut en du03B8 differential vinkel, radien förändringar dr.
Observera att mindre DR är, desto närmare den väg spåren ut hypotenusan i en rätvinklig triangel av höjd dr och rdu03B8 bas. Den Pythagoras sats ger sedan längden på hypotenusan vara u221A [r ^ 2 du03B8 ^ 2 + dr ^ 2]. Dra du03B8 ^ 2 ut från under de radikala att få du03B8 u221A [r ^ 2 + (DR /du03B8) ^ 2]. Eftersom r och u03B8 är lika stora blir DR /du03B8=1. Så integrerar skillnaden väglängden med avseende på u03B8 mellan 0 och u03C0 blir en fråga om att integrera u222B du03B8 u221A [u03B8 ^ 2 +1].
Lösningen på denna ekvation kan hittas i integrerad tabeller. Det är något lång. Båglängden visar sig vara (u03C0 /2) u221A [(u03C0 /2) ^ 2 +1] + 0. 5 ln (u03C0 + u221A (1 + u03C0)). Detta kommer ut till omkring 3,72, vilket är begripligt eftersom omkrets av en cirkel med radien u03C0 är 2u03C0 ^ 2. Skär detta i hälften för att få halvcirkel. Då svarar för de små båglängden från u03B8=0 till u03C0 /2 och 3,72 känns som ett rimligt svar.
