hur man beräknar volym med skal metod

I kalkyl kan du använda skalet metod för att mäta en volym spåras av en roterad form. I detta fall är en "skal" en cylinder med större delen av centrum saknas, vilket bara en tunn rund vägg bakom. Skalet Metoden är besläktad med disken metoden, vilket diskuteras i Ellis och Gullick s inledande lärobok "Calculus", men skalet metod bättre möjliggör mätning volymer med hål i mitten. Anta till exempel att en halvcirkel med radie 1 ligger vid x =- 1. Du vill veta volymen utstakad genom att rotera formen runt y-axeln. Denna form lämpar sig inte för att brytas upp i skivor centrerad på y-axeln på grund av hål i centrum-men det lämpar sig för att delas upp i skal
1.
Använd formeln för en cylinder att komma med formeln för ett skal. Beteckna volymen av ett skal av inre radie jag, yttre radien O, höjd H och tjocklek "X. Om centrum var inte saknas från skalet, skulle det vara en cylinder med volym Hu03C0O ^ 2. Det saknade centrum har volym Hu03C0I ^ 2. Skillnaden är Hu03C0 (O ^ 2-I ^ 2)=Hu03C0 (OI) (O + I)=Hu03C0 ("x) (2 x genomsnittlig radie).

2
Bestäm en funktion för formens höjd För exemplet i inledningen, H ^ 2 + (x +1) ^ 2=1 Därför, H=u221A [1 -. . ( x +1) ^ 2], där u221A visar att du tar kvadratroten av hela den mängd inom parentes.
3.
Bestäm en funktion för den radie av skalet.

fortsätter med exemplet ovan varierar radie från x =- 2 till x=0. Observera att integrationen måste göras från -2 till 0 för att hålla "x positivt. Om du integrera från 0 till -2, sedan ditt skal bredd kommer att översättas som negativ.
4.

Summera de volymer Hu03C0 ("x) (2 x genomsnittlig radie) i intervallet x genom att integrera med hjälp av oändligt smala skal av bredd dx.

Fortsätta med ovanstående exempel integrera från -2 till 0 ger u222B u221A [1-(x +1) ^ 2] u03C0 DX (-2x). Eftersom derivat av det belopp som enligt den radikala tecken är -2 (x +1), kan-2x skulle skrivas 2x-2 2 så att integralen kan skrivas som två integraler, löste ett med hjälp av kedjeregeln och andra löst som en arcsin. Resultatet är (2 /3) u03C0 (1-(x +1) ^ 2) ^ 1,5 + 2u03C0 [(x +1) /2 u221A [1-(x +1) ^ 2] + 0,5 arcsin (x +1)] och som uppskattas till 0 och -2. Utvärdering på 0 ger u03C0 ^ 2 /2. Utvärdera på -2 ger-u03C0 ^ 2 /2. Med skillnaden ger u03C0 ^ 2.